✎☛ Déterminer les coordonnées d'un point dans un repère de l'espace

Méthode
Soit \(\left(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  un repère de l'espace. On veut déterminer les coordonnées d'un point \(\mathrm{M}\) dans ce repère.

On considère le vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{OM}}\) .
On le décompose, à l'aide de la relation de Chasles, pour l'exprimer en fonction des vecteurs  \(\overrightarrow{i}\) ,  \(\overrightarrow{j}\)  et  \(\overrightarrow{k}\) .
Les coefficients obtenus devant   \(\overrightarrow{i}\) ,  \(\overrightarrow{j}\)  et  \(\overrightarrow{k}\) , dans cet ordre, sont les coordonnées du vecteur   \(\mathrm{\overrightarrow{OM}}\) . Comme \(\mathrm{O}\) est l'origine du repère, ces coordonnées sont aussi celles du point \(\mathrm{M}\) .

Énoncé

Soit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un cube.

Soit  \(\mathrm{I}\) , \(\mathrm{J}\) , \(\mathrm{K}\)   les milieux respectifs des segments \(\mathrm{[AB]}\) , \(\mathrm{[BC]}\) et \(\mathrm{[FG]}\) .
Soit \(\mathrm{L}\) le centre de la face \(\mathrm{BCGH}\) . 
On se place dans le repère  \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) .
1. Déterminer les coordonnées de chacun des sommets du cube.

2. Déterminer les coordonnées des points \(\mathrm{I}\) ,  \(\mathrm{J}\) , \(\mathrm{K}\)  et \(\mathrm{L}\) .

3. Déterminer les coordonnées du vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{LK}}\) .

Solution

1. Le point  \(\mathrm{A}\) est l'origine du repère, donc   \(\mathrm{A(0~;~0~;~0)}\) .
\(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\)  est le premier vecteur de la base,  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) est le deuxième vecteur de la base, \(\mathrm{\overrightarrow{AE}}\) est le troisième vecteur de la base.
\(\mathrm{\overrightarrow{AB} = 1\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}\) , donc \(\mathrm{B(1~;~0~;~0)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 1\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AD} + 0\overrightarrow{AE}}\) , donc \(\mathrm{C(1~;~1~;~0)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+0\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{D(0~;~1~;~0)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AE}=0\overrightarrow{AB}+0\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{E(0~;~0~;~1)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AB} +1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{F(0~;~1~;~1)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} = 1\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{G(1~;~1~;~1)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BH} = 1\overrightarrow{AB} + 0\overrightarrow{AD} + 1\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{H(1~;~0~;~1)}\) .

2.  \(\mathrm{\overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}}\) , donc \(\mathrm{I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}}\) , donc  \(\mathrm{J\left(1~;~\dfrac12~;~0\right)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FK} = \dfrac12\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AD}+1\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{K\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)}\) .

\(\mathrm{\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AJ} +\overrightarrow{JL} =\overrightarrow{AB} +\dfrac12\overrightarrow{AD} +\dfrac12\overrightarrow{AE}}\) , donc  \(\mathrm{L\left(1~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right)}\) .

3.
  \(\begin{array}[t]{rcl}\mathrm{\overrightarrow{LK}}& =& \mathrm{\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{AK}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AD}-\dfrac12\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}\\\mathrm{\overrightarrow{LK}}&=&\mathrm{-\dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AE}}\\\end{array}\)
Donc \(\mathrm{\overrightarrow{LK}}\begin{pmatrix} -\dfrac12 \\\dfrac12 \\ \dfrac12\\\end{pmatrix}\) .